| 두 벡터를 표준기저벡터로 나타내었을 때 각 성분끼리의 곱의 합으로 스칼라곱이라고 한다. 내적은 교환법칙, 결합법칙, 배분법칙이 성립한다. |
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 본문 | |||||
스칼라곱(scalar product)이라고도 한다. 영(零)벡터가 아닌 두 벡터 x, y의 크기 |x|, |y|와 x, y가 이루는 각 θ의 cos과의 곱 |x||y|cos θ를 x, y의 내적이라 하고, x ·y 또는 (x,y)로 나타낸다. 즉, 기하학적으로는 [그림]의 |x|cos θ와 |y|를 곱한 값이 된다. 내적의 성질로는 ① 교환법칙 x ·y＝ y ·x, ② 1개의 스칼라 α에 대하여 결합법칙 (αx) ·y＝α(x ·y), ③ 배분법칙 x·(y+z)＝x·y+x·z, ④ 벡터의 수직조건, x와 y가 수직이면 x ·y＝0이 성립한다. 또, x ·x＝ |x|2이다. | |||||
벡터의 내적에 대하여 아는대로 설명드리겠습니다.
벡터의 내적의 정의는 두 벡터의 각 성분을 곱하여 모두 더한것이라 정의합니다. 그냥 이렇게 외워야 합니다. 복잡한것도 아니니..
즉, a dot b = a.x*b.x + a.y*b.y 라고 계산할 수 있습니다.
예를 들어 벡터a(1,0), 벡터b(1,1)가 있을 때, 두벡터의 내적 계산은
a dot b = 1 * 1 + 0 * 1 = 1
결과값으로 1 이라는 스칼라값이 튀어나옵니다. 그러면 이 1 이라는 값을 어디다 써먹을까요.
여기 1 이라는 결과값이 놀랍게도 두 벡터 a, b중에 아무놈이나.. 예를 들어 a벡터를 b벡터에 투영하거나
b벡터를 a벡터에 투영했을 때, 두벡터의 길이의 곱셈값과 같게 됩니다.
(여기서 투영한다는 것은 한 벡터의 끝위치에서 다른 벡터까지의 최단거리로 가는 것을 말합니다. 아시겠지만..)
위의 예에서 a벡터를 b벡터에 투영하면 투영된 벡터의 길이는 얼마가 될까요? 그림그려보면 금방아시겠지만,
벡터 b의 길이는 √2이므로 (√2 / 2) 가 됩니다. 그러므로 벡터 b의 길이와 벡터 a가 벡터 b에 투영된 길이를 곱하면..
√2 * (√2 / 2) = 1 이 됩니다. 반대로 b벡터를 a벡터에 투영하여 계산해도 결과는 같습니다.
좀 더 자세한 내용은 정석 책에 아마 나오지 않을까 생각되네요.
정리하면
벡터의 내적의 결과 값 = 두벡터 중 한 벡터를 투영한 길이와 나머지 벡터의 길이를 곱한 값이라는 공식이 성립합니다.
이제부터가 중요합니다. 같다는 것 알것는데 이걸 어디다가 써먹는가 하면,
바로 두벡터 사이에 각을 알아내는데에 쓰인다는 것입니다.
각을 어떻게 계산하는가하면 a벡터의 길이 |a| = 1입니다. b벡터의 길이 |b| = √2 이구요.
두벡터가 이루는 각을 θ라고 할때,
cos(θ) = a벡터를b벡터에투영한길이 / a벡터길이
혹은
cos(θ) = b벡터를a벡터에투영한길이 / b벡터길이
가 되죠. 여기서 윗쪽을 기준으로 계산하면
cos(θ) = a벡터를b벡터에투영한길이 / a벡터길이 = (√2 / 2) / 1 = √2 / 2 = 1.4142135... / 2 = 0.70710... 이 됩니다.
즉 cos(θ) = 0.70710... 인데
그럼 θ = arccos(0.70710...) = 45 가 나오죠. (arccos는 코사인함수의 역함수입니다.)
그러므로 두 벡터 a(1,0) b(1,1)사이에 각도는 내적공식을 이용하여 45도라는 것을 알아낼 수 있습니다.
정리하면 내적이라는 dot 연산은 각 벡터 성분을 곱한것을 모두 더한 값인데 이 값에는 두 벡터 사이의 각도가 숨어있다는 말이됩니다.
온라인상에서 생각나는대로 적어서 두서없습니다.
그럼.
Posted by kaoru
